Bilangan Bulat – Bilangan merupakan konsep dasar matematika berupa deretan angka yang digunakan dalam pencacahan. Ada berbagai macam jenis bilangan, salah satunya adalah bilangan bulat. Pada artikel ini akan dibahas secara lengkap mengenai pengertian, operasi hitung, dan contoh perhitungan bilangan bulat.
Pengertian Bilangan Bulat
Apa yang dimaksud dengan bilangan bulat? Bilangan bulat adalah kumpulan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan bilangan yang nilainya negatif. Lambang bilangan bulat dituliskan dengan simbol huruf Z yang berasal dari kata Zahlen (bahasa Jerman) yang artinya bilangan.
Seperti yang kita tahu bahwa bilangan cacah dimulai dari nol dan dan diikuti oleh bilangan positif atau bilangan asli. Untuk bilangan di sebelah kiri nol merupakan bilangan negatif. Nah, jika terdapat pertanyaan bilangan bulat itu apa saja? Maka jawabannya adalah bilangan asli, bilangan nol, dan bilangan negatif.
Dari definisi tersebut, maka bilangan bulat juga dapat diartikan gabungan dari bilangan positif, bilangan nol dan bilangan negatif. Dengan begitu, deretan bilangan bulat dapat dituliskan Z = { …,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }.
Bilangan bulat merupakan bilangan yang nilainya bulat. Maka bilangan seperti pecahan dan desimal tidak termasuk dalam himpunan bilangan bulat. Lalu, bilangan apa saja yang termasuk bilangan bulat? Diantara jenis-jenis bilangan matematika yang termasuk dalam bilangan bulat adalah sebagai berikut:
- Bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, 4, 5, … }
- Bilangan bulat negatif = { -1, -2, -3, -4, -5, … }
- Bilangan cacah = { 0, 1, 2, 3, 4, … }
- Bilangan asli = { 1, 2, 3, 4, 5, … }
- Bilangan ganjil = { 1, 3, 5, 7, … }
- Bilangan genap = { 2, 4, 6, 8, … }
- Bilangan prima = { 2, 3, 5, 7, … }
- Bilangan komposit = { 4, 6, 8, 9, … }
Membandingkan Bilangan Bulat
Membandingkan adalah menentukan nilai dari dua bilangan, apakah nilaianya lebih besar, sama dengan, atau lebih kecil dari bilangan lainnya. Jika dua bilangan bulat dituliskan dengan huruf a dan b, maka untuk membandingkannya adalah sebagai berikut:
- Jika a lebih besar dari b, maka a > b
- Jika a sama dengan b, maka a = b
- Jika a lebih kecil dari b, maka a < b
Contoh:
2 > 1, artinya 2 lebih besar dari pada 1
1 < 2, artinya 1 lebih kecil dari pada 2
2 = 2, artinya 2 nilainya sama dengan 2
Dalam membandingkan bilangan, kita harus dapat mengurutkan suatu bilangan secara urut mulai dari yang nilai terkecil ke terbesar, atau sebaliknya.
Dalam garis bilangan, angka nol terletak di tengah-tengah. Pada bilangan bulat, semakin arahnya ke kanan dari nol, maka nilainya semakin besar. Begitu sebaliknya, jika semakin ke kiri dari nol, maka nilainya semakin kecil.
Operasi Hitung Bilangan Bulat
Dalam perhitungan bilangan bulat, terdapat beberapa aturan yang perlu diperhatikan. Berikut akan dijelaskan rumus operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada bilangan bulat.
A. Penjumlahan Bilangan Bulat
Sifat-sifat operasi penjumlahan bilangan bulat adalah sebagai berikut:
1. Sifat Komutatif
Sifat komutatif adalah sifat pertukaran.
a + b = b + a
Contoh:
2 + 3 = 3 + 2 = 5
2. Sifat Asosiatif
Sifat asosiatif adalah sifat pengelompokan.
(a + b) + c = a + (b + c)
Contoh:
(4 + 3) + 2 = 4 + (3 + 2) = 9
3. Sifat Identitas Penjumlahan
Unsur identitas terhadap penjumlahan adalah bilangan 0.
0 + a = a + 0
Contoh:
3 + 0 = 0 + 3 = 3
4. Unsur Invers Penjumlahan
Invers (lawan) dari a adalah –a.
Invers (lawan) dari –a adalah a.
a + (-a) = 0
Contoh:
5 + (-5) = 0
5. Sifat Tertutup
Penjumlahan bilangan bulat dengan bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga.
Contoh:
1 + 2 = 3
(1, 2, 3 adalah bilangan bulat)
Penjumlahan bilangan bulat dengan jenis yang sama, maka akan menghasilkan bilangan yang sama dengan jenis bilangan yang dijumlahkan.
- Penjumlahan bilangan bulat positif ditambah bilangan bulat positif, maka hasilnya adalah bilangan bulat positif
- Penjumlahan bilangan bulat negatif ditambah bilangan bulat negatif, maka hasilnya adalah bilangan bulat negatif
Contoh:
3 + 3 = 6
-3 + (-3) = -6
Penjumlahan dua jenis bilangan bulat yang berbeda, maka hasilnya merupakan hasil pengurangan dan jenisnya ditentukan dari jenis bilangan yang lebih besar.
- Jika bilangan yang lebih besar adalah negatif, maka hasilnya adalah bilangan negatif
- Jika bilangan yang lebih besar adalah positif, maka hasilnya adalah bilangan positif
Contoh:
-5 + 3 = -2
5 + (-3) = 2
B. Pengurangan Bilangan Bulat
Sifat-sifat operasi pengurangan bilangan bulat adalah sebagai berikut:
1. Rumus Pengurangan Bilangan Bulat
a – b = a + (-b)
a – (-b) = a + b
Contoh:
3 – 2 = 3 + (-2) = 1
3 – (-1) = 3 + 1 = 4
2. Pengurangan Bilangan Bulat Tidak Berlaku Sifat Komutatif dan Assosiatif
a – b ≠ b – a
(a – b) – c ≠ a – (b – c)
Contoh:
3 – 2 ≠ 2 – 3
(4 – 3) – 2 ≠ 4 – (3 – 2)
3. Pengurangan Yang Melibatkan Bilangan 0
a – 0 = a dan 0 – a = -a
Contoh:
3 – 0 = 3 dan 0 – 3 = -3
4. Sifat Tertutup
Pengurangan bilangan bulat dengan bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga.
Contoh:
3 – 2 = 1
(3, 2, 1 adalah bilangan bulat)
5. Pengurangan Bilangan Bulat Dengan Jenis Yang Sama
Contoh:
5 – 3 = 2
-5 – (-3) = -5 + 3 = -2
6. Pengurangan Bilangan Bulat Dengan Jenis Berbeda
Contoh:
3 – (-2) = 3 + 2 = 5
-3 – 2 = -5
C. Perkalian Bilangan Bulat
Sifat-sifat operasi perkalian bilangan bulat adalah sebagai berikut:
1. Perkalian Dua Bilangan Bulat Positif Hasilnya adalah Positif
(+) x (+) = (+)
Contoh:
3 x 3 = 9
2. Perkalian Dua Bilangan Bulat Negatif Hasilnya adalah Positif
(-) x (-) = (+)
Contoh:
-3 x -3 = 9
3. Perkalian Bilangan Positif dikali dengan Bilangan Negatif hasilnya adalah Negatif
(+) x (-) = (-)
Contoh:
3 x (-3) = -9
4. Perkalian Bilangan Negatif dikali dengan Bilangan Positif hasilnya adalah Negatif
(-) x (+) = (-)
Contoh:
-3 x -3 = -9
5. Sifat Komutatif Perkalian
a x b = b x a
Contoh:
3 x 2 = 2 x 3 = 6
6. Sifat Assosiatif Perkalian
(a x b) x c = a x (b x c)
Contoh:
(3 x 2) x 1 = 3 x (2 x 1) = 6
7. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan
a x (b + c) = ab + ac
Contoh:
2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4) = 6 + 8 = 14
8. Unsur Identitas Perkalian
Unsur identitas terhadap perkalian adalah angka 1.
a x 1 = a
Contoh:
3 x 1 = 3
9. Sifat Tertutup Perkalian
Perkalian bilangan bulat dengan bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat.
Contoh:
2 x 3 = 6
(2, 3, 6 adalah bilangan bulat)
D. Pembagian Bilangan Bulat
Sifat-sifat operasi pembagian bilangan bulat adalah sebagai berikut:
1. Pembagian Dua Bilangan Bulat Positif hasilnya adalah Positif
(+) : (+) = (+)
Contoh:
6 : 2 = 3
2. Pembagian Dua Bilangan Bulat Negatif hasilnya adalah Positif
(-) : (-) = (+)
Contoh:
-6 : -2 = 3
3. Pembagian Bilangan Positif dibagi dengan Bilangan Negatif hasilnya adalah Negatif
(+) : (-) = (-)
Contoh:
6 : (-2) = -3
4. Pembagian Bilangan Negatif dibagi dengan Bilangan Positif hasilnya adalah Negatif
(-) : (+) = (-)
Contoh:
-6 : 2 = -3
5. Pembagian Bilangan Bulat dengan Angka Nol (0) Tidak Terdefinisi
a : 0 = (tidak terdefinisi)
Contoh:
5 : 0 = (tidak terdefinisi)
6. Pembagian Bilangan Bulat Tidak Berlaku Sifat Komutatif dan Assosiatif
a : b ≠ b : a
(a : b) : c ≠ a : (b : c)
Contoh:
4 : 2 ≠ 2 : 4
(8 : 4) : 2 ≠ 8 : (4 : 2)
Demikianlah pembahasan mengenai pengertian, operasi hitung, dan contoh perhitungan bilangan bulat. Semoga bermanfaat.
Baca Juga :
